Графики функций у = tg x и у = ctg x
|
Схематично поведение функции у = tg x было представлено в разделе Изменение тригонометрических функций. Теперь мы начертим точный график этой функции. Для этого исцользуем геометрическое построение, аналогичное тому, которое было описано в для построения синусоиды . Мы не будем подробно останавливаться на этом построении, а ограничимся лишь тем, что приведем соответствующий рисунок . Учащиеся без особого труда смогут разобраться в нем самостоятельно.
![]()
Теперь, используя график функции у = tg х в интервале 0 < х < π/2 можно построить график этой функции и в интервале — π/2 < х <0. Для этого воспользуемся тождеством
tg (—φ) = — tg φ.
Оно указывает на то, что график функции y = tg x симметричен относительно начала координат. Отсюда сразу же получается та часть графика, которая соответствует значениям — π/2 < х <0
![]()
Функция y = tg x периодична с периодом π. Поэтому теперь для построения ее графика нам остается лишь продолжить периодически кривую, представленную на рисунке, влево и вправо с периодом π. В результате получается кривая, которая называется тангенсоидой.
![]()
Тангенсоида хорошо иллюстрирует все те основные свойства функции у = tg x, которые раньше были доказаны нами. Напомним эти свойства.
1) Функция у = tg x определена для всех, значений х, кроме х = π/2 + nπ, где n — любое целое число. Таким образом, областью ее определения служит совокупность всех действительных чисел, кроме х = π/2 + nπ.
2) Функция у = tg x не ограничена. Она может принимать как любые положительные, так и любые отрицательные значения. Следовательно, областью ее изменения является совокупность всех действительных чисел. Среди этих чисел нельзя указать ни наибольшего, ни наименьшего.
3) Функция у = tg x нечетна (тангенсоида симметрична относительно начала координат).
4) Функция у = tg x периодична с периодом π.
5) В интервалах
nπ < х < π/2 + nπ
функция у = tg х положительна, а в интервалах
— π/2 + nπ< х < nπ
отрицательна. При х = nπ функция у = tg x обращается в нуль Поэтому эти значения аргумента (0; ± π; ± 2π; ±3π; ..) служат нулями функции у = tg x.
6) В интервалах
— π/2 + nπ < х < π/2 + nπ
функция монотонно возрастает. Можно сказать, что в любом интервале, в котором функция у = tg x определена, она является монотонно возрастающей.
Однако ошибочно было бы считать, что функция у = tg x монотонно возрастает всюду. Так, например , π/4 + π/2 > π/2 . Однако tg (π/4 + π/2) < tg π/4 . Это объясняется тем, что в интервал, соединяющий точки х =π/4 и х = π/4 + π/2, попадает значение х = π/2, при котором функция у = tg x не определена.
****************
Для построения графика функции у = ctg x следует воспользоваться тождеством
ctg x = — tg (x + π/2)
Оно указывает на следующий порядок построения графика:
1) тангенсоиду у = tg x нужно сдвинуть влево по оси абсцисс на расстояние π/2;
2) полученную кривую отобразить симметрично относительно оси абсцисс.
В результате такого построения получается кривая, представленная на рисунке. Эту кривую иногда называют котангенсоидой.
![]()
Котангенсоида хорошо иллюстрирует все основные свойства функции у = ctg х. Предлагаем учащимся сформулировать эти свойства и дать им графическую интерпретацию.
Упражнения
![]() ![]()
1.Используя графики функций у = tg x и у = ctg х, найти наименьшие положительные корни уравнений:
a) tg х = —3; б) tg х = 2; в) ctg х = —3; г) ctg x = 2.
2. Используя графики функций у = tg x и у = ctg х, найти все корни уравнений:
a) tg х = \/3; б) ctg x = 1 / \/ 3 https://magicdrop.ru/?272969
|
понедельник, 23 февраля 2015 г.
y=tgx y=ctgx
y=sinx
График функции у = sin x
| ||
В разделе "Определение значений тригонометрических функций любого угла" мы выяснили, что поведение тригонометрических функций, и функции у = sin х в частности, на всей числовой прямой (или при всех значениях аргумента х) полностью определяется ее поведением в интервале 0 < х < π/2 . Поэтому прежде всего мы построим график функции у = sin х именно в этом интервале. Составим следующую таблицу значений нашей функции; ![]()
Отмечая соответствующие точки на плоскости координат и соединяя их плавной линией, мы получаем кривую, представленную на рисунке
![]()
Полученную кривую можно было бы построить и геометрически, не составляя таблицы значений функции у = sin х.
![]()
1.Первую четверть окружности радиуса 1 разделим на 8 равных частей.Ординаты точек деления окружности представляют собой синусы соответствующих углов.
2.Первая четверть окружности соответствует углам от 0 до π/2. Поэтому на оси хвозьмем отрезок [0 , π/2 ] и разделим его на 8 равных частей.
3.Проведем прямые, параллельные оси х, а из точек деления восставим перпендикуляры до пересечения с горизонтальными прямыми.
4.Точки пересечения соединим плавной линией.
Теперь обратимся к интервалу π/2 < х < π.
Каждое значение аргумента х из этого интервала можно представить в виде
x = π/2 + φ
где 0 <φ < π/2 . По формулам приведения
sin ( π/2 + φ) = соsφ = sin ( π/2 — φ).
Точки оси х с абциссами π/2 + φ и π/2 — φ симметричны друг другу относительно точки оси х с абсциссой π/2, и синусы в этих точках одинаковы. Это позволяет получить график функции у = sin х в интервале [π/2 , π ] путем простого симметричного отображения графика этой функции в интервале [0 , π/2] относительно прямой х = π/2.
![]()
Теперь, используя свойство нечетности функции у = sin х,
sin (— х) = — sin х,
легко построить график этой функции в интервале [— π, 0].
![]()
Функция у = sin х периодична с периодом 2π;. Поэтому для построения всего графика этой функции достаточно кривую, изображенную на рисунке, продолжить влево и вправо периодически с периодом 2π.
![]()
Полученная в результате этого кривая называется синусоидой. Она и представляет собой график функции у = sin х.
![]()
Рисунок хорошо иллюстрирует все те свойства функции у = sin х, которые раньше были доказаны нами. Напомним эти свойства.
1) Функция у = sin х определена для всех значений х, так что областью ее определения является совокупность всех действительных чисел.
2) Функция у = sin х ограничена. Все значения, которые она принимает, заключены в интервале от —1 до 1, включая эти два числа. Следовательно, область изменения этой функции определяется неравенством —1< у < 1. При х = π/2 + 2kπфункция принимает наибольшие значения, равные 1, а при х = — π/2 + 2kπ — наименьшие значения, равные — 1.
3) Функция у = sin х является нечетной (синусоида симметрична относительно начала координат).
4) Функция у = sin х периодична с периодом 2π.
5) В интервалах 2nπ < x < π + 2nπ (n — любое целое число) она положительна, а в интервалах π + 2kπ < х < 2π + 2kπ (k — любое целое число) она отрицательна. При х = kπ функция обращается в нуль. Поэтому эти значения аргумента х (0; ±π; ±2π; ...) называются нулями функции у = sin x
6) В интервалах — π/2 + 2nπ < х < π/2 + 2nπ функция у = sin x монотонно возрастает, а в интервалах π/2 + 2kπ < х < 3π/2 + 2kπ она монотонно убывает.
Cледует особо обратить внимание на поведение функции у = sin x вблизи точких= 0.
Например, sin 0,012 ≈ 0,012; sin (—0,05) ≈ —0,05;
sin 2° = sin π • 2 /180 = sin π/90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
Вместе с тем следует отметить, что при любых значениях х
| sin x | < | x |. (1)
Действительно, пусть радиус окружности, представленной на рисунке, равен 1,
a / AОВ = х. ![]()
Тогда sin x = АС. Но АС < АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол х. Длина этой дуги равна, очевидно, х, так как радиус окружности равен 1. Итак, при 0 < х < π/2
sin х < х.
Отсюда в силу нечетности функции у = sin x легко показать, что при — π/2 < х < 0
| sin x | < | x |.
Наконец, при x = 0
| sin x | = | x |.
Таким образом, для | х | < π/2 неравенство (1) доказано. На самом же деле это неравенство верно и при | x | > π/2 в силу того, что | sin х | < 1, а π/2 > 1
Упражнения
![]()
1.По графику функции у = sin x определить: a) sin 2; б) sin 4; в) sin (—3).
2.По графику функции у = sin x определить, какое число из интервала
[ — π/2 , π/2] имеет синус, равный: а) 0,6; б) —0,8.
3. По графику функции у = sin x определить, какие числа имеют синус,
равный 1/2.
4. Найти приближенно (без использования таблиц): a) sin 1°; б) sin 0,03;
в) sin (—0,015); г) sin (—2°30'). https://magicdrop.ru/?272969 |
y=cosx
График функции у = cos x
|
Как мы знаем, cos х = sin (х + π/2).
Поэтому если cos x принимает некоторое значение а при х = х0, то при х = х0 + π/2 это же значение а примет и sin x. Если аргумент х толковать как время, то можно сказать, что значения функции у = sin x как бы «запаздывают», или «отстают» от соответствующих значений функции у = cos x на π/2.
Отсюда можно заключить, что график функции у = cos x получается посредством сдвига графика функции у = sin x вдоль оси абсцисс влево на расстояние π/2.
![]()
Итак, график функции у = cos x есть синусоида, сдвинутая влево на π/2. Иногда такую кривую называют косинусоидой.
Косинусоида хорошо иллюстрирует все основные свойства функции у = cos х, которые раньше были нами доказаны. Предлагаем учащимся еще раз сформулировать эти свойства и дать им графическую интерпретацию.
Упражнения
![]()
1.По графику функции у = cos х определить: a) cos 3; б) cos 4; в) cos (—2).
2. По графику функции у = cos х определить, какое число из интервала [0, π] имеет косинус, равный: а) 0,6; б) —0,8.
3.По графику функции у = cos x определить, какие числа имеют косинус, равный 1/2.
4. При малых (по абсолютной величине) значениях х косинусоида у = cos х имеет примерно такой же вид, как и парабола у = 1 — 0,5x2 (Сделайте чертеж!) Поэтому для малых значений х
cos x ≈ 1 — 0,5x2.
Используя эту формулу, вычислите приближенно:
a) cos 1°; б) cos 0,03;. в) cos (—0,015); г) cos (—2°30'). Полученные результаты сравните с результатами вычислений на калькуляторе или в программе Excell .
https://magicdrop.ru/?272969 |
Подписаться на:
Сообщения (Atom)