y=tgx y=ctgx

Графики функций   у = tg x  и  у = ctg x

Схематично поведение функции у = tg x было представлено в разделе Изменение тригонометрических  функций. Теперь мы начертим точный график этой функции. Для этого исцользуем геометрическое построение, аналогичное тому, которое было описано в  для построения синусоиды . Мы не будем подробно останавливаться на этом построении, а ограничимся лишь тем, что приведем соответствующий рисунок . Учащиеся без особого труда   смогут   разобраться   в   нем   самостоятельно. Теперь,   используя   график   функции   у = tg х в интервале 0 < х < π/2   можно построить график этой функции и в интервале — π/2 < х <0. Для этого  воспользуемся    тождеством tg (—φ) = — tg φ. Оно указывает на то, что график функции y = tg x симметричен относительно начала координат. Отсюда сразу же получается та часть графика,   которая   соответствует   значениям — π/2 < х <0 Функция y = tg x периодична с периодом π. Поэтому теперь для построения ее графика нам остается лишь продолжить периодически кривую, представленную на рисунке, влево и вправо с периодом   π. В результате получается кривая, которая называется тангенсоидой. Тангенсоида хорошо иллюстрирует все те основные свойства функции у = tg x,   которые раньше были доказаны нами.   Напомним эти свойства. 1)  Функция у = tg x определена для всех, значений х,   кроме х = π/2 + nπ, где n — любое целое число. Таким образом, областью ее определения служит совокупность всех действительных чисел, кроме х = π/2 + nπ. 2)  Функция у = tg x   не ограничена.  Она  может принимать как  любые  положительные,   так  и  любые   отрицательные   значения. Следовательно, областью ее изменения является совокупность всех действительных чисел. Среди этих чисел нельзя указать ни наибольшего, ни наименьшего. 3)  Функция у = tg x  нечетна (тангенсоида симметрична относительно начала координат). 4)  Функция у = tg x периодична с периодом π. 5) В интервалах nπ < х < π/2 + nπ функция  у = tg х положительна,  а в интервалах —  π/2 + nπ< х < nπ отрицательна. При х = nπ функция у = tg x обращается в нуль Поэтому эти значения аргумента (0; ± π; ± 2π; ±3π; ..) служат нулями функции у = tg x. 6)  В  интервалах —  π/2 + nπ < х <  π/2 + nπ  функция монотонно возрастает. Можно сказать, что в любом интервале, в котором функция у = tg x определена, она является монотонно возрастающей. Однако ошибочно было бы считать, что функция у = tg x монотонно возрастает всюду. Так, например ,    π/4 + π/2 > π/2 .  Однако   tg (π/4 + π/2) < tg π/4 . Это   объясняется   тем,   что   в    интервал,   соединяющий точки х =π/4 и х = π/4 + π/2, попадает значение х = π/2, при котором функция у = tg x не определена. **************** Для построения графика функции у = ctg x следует воспользоваться   тождеством ctg x = — tg (x + π/2) Оно указывает на следующий порядок построения графика: 1)  тангенсоиду у = tg x  нужно сдвинуть влево по оси абсцисс на расстояние π/2; 2)  полученную кривую отобразить  симметрично относительно оси абсцисс. В результате такого построения получается кривая, представленная на рисунке. Эту кривую иногда называют котангенсоидой. Котангенсоида хорошо иллюстрирует все основные свойства функции у = ctg х. Предлагаем учащимся сформулировать эти свойства и дать им графическую интерпретацию. Упражнения 1.Используя графики функций у = tg x и у = ctg х, найти наименьшие положительные корни уравнений: a)  tg х = —3;   б)  tg х = 2;     в) ctg х = —3;    г) ctg x = 2. 2.  Используя графики функций у = tg x и у = ctg х, найти все  корни   уравнений: a) tg х = \/3;   б) ctg x = 1 / \/ 3 https://magicdrop.ru/?272969